定积分与牛顿-莱布尼兹公式

简单定积分

对于简单的定积分，我们可以通过普通的分段求和来搞出来。例如：

${\int }_0^1{x}^{2}dx$

这里的定积分的意义是“ $f\left(x\right)=x^2$ 、 $x=0$ 、 $y=0$ 、 $x=1$ 围成的图形的面积”。

做法：将$x$轴$[0,1]$分成$n$份，每份的宽度是$\frac{1}{n}$。考虑每一小块，第$i$小块的$x$坐标是$\frac{i}{n}$，那么第$i$小块的$y$坐标就是$\frac{i^2}{n^2}$。

第$i$小块的面积是$\frac{i^2}{n^2}\ast \frac{1}{n}=\frac{i^2}{n^3}$。求和所有小块，即为：

${\sum }_{i=0}^n\frac{i^2}{n^3}=\frac{{\sum }_{i=0}^n{i}^2}{n^3}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}\ast \frac{n+1}{n}\ast \frac{2n+1}{2n}$， ${lim}_{n\to \infty }\frac{1}{3}\ast \frac{n+1}{n}\ast \frac{2n+1}{2n}=\frac{1}{3}$

故所求曲边梯形的面积就是$\frac{1}{3}$。

牛顿-莱布尼茨公式

面对着相当可恶的多项式，上面的搞法就会出问题。

因为${\sum }_{i=1}^n{i}^2$的计算公式我们知道，但是${\sum }_{i=1}^n{i}^{233}$的计算公式真是天知道。

所以前人提出了巧妙的方法——牛顿-莱布尼茨公式。

公式的核心思想是，积分和求导是互逆运算。这个东西可以用定义强行推出来，但是也许下面的式子会有一定启发：$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\Delta y}{\Delta x}$，则$\Delta y=\Delta x\ast f^{\prime }\left(x\right)$。

如何应用牛-莱公式？（下面的式子都省略$dx$） 若$f\left(x\right)$为$F\left(x\right)$的导数，则有： ${\int }_a^{b}f\left(x\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

例子：仍然用之前的${\int }_0^1{x}^2$。令$f\left(x\right)=x^2$，脑补出它是$F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3$的导数。

那么${\int }_0^1{x}^2=F\left(1\right)-F\left(0\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$。

简单方便！于是我们的任务不再是分段求面积，而是从导数反推出原函数。

一般来说，$f\left(x\right)$为多项式的很好推。

例题：求${\int }_0^1(x^3-x+1)$。

解：令$f\left(x\right)=x^3-2x+1$，脑补出原函数$F\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-x^2+x$。验算，成立。 那么${\int }_0^{1}f\left(x\right)=F\left(1\right)-F\left(0\right)=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}$。

奇技淫巧

一般来说，$f\left(x\right)$为根式就很难推出原函数。但是如果$f\left(x\right)$有“猎奇的性质”，那么就可以从面积推积分。

例如：求${\int }_0^2\left(\sqrt{4-x^2}\right)$。显然这个东西相当难积，所以我们反其道而行之，求面积。

注意到$f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2},x\in [0,2]$与$x$、$y$轴围成的图形恰为一个四分之一的圆，其面积是$\frac{\pi \ast 2\ast 2}{4}=\pi$。 故${\int }_0^2\left(\sqrt{4-x^2}\right)=\pi$。

总结

微积分博大精深。