泰勒展开

泰勒展开：用多项式函数来拟合怪模怪样的函数。

幂函数

考虑简单的幂函数$f\left(x\right)=x^a$。 显然的性质：

1. $a$越大则$f\left(x\right)$增长越快；
2. 若$a$是奇数，则函数关于原点对称；若$a$是偶数，则函数关于$y$轴对称。

幂函数的单调性很简单。能不能把幂函数弄出几个突起呢？

可以令$f\left(x\right)=x^2+x^9$，这样的函数在前期更多地体现$x^2$的特征，后期更多地体现$x^9$的特征。

如何调整这些突起呢？我们可以给$x^a$乘上常数。有了随意扭曲函数图像的能力，可以很容易地造出一颗心： 

泰勒展开的实质，就是拿多项式来逼近光滑函数。

泰勒展开

一个极不优雅的公式：$f\left(x\right)=\sum _{n=0}^N\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}(x-a{)}^n+R_n(x)$

这里的$f^{\left(n\right)}$表示$f\left(x\right)$的$n$阶导数。例如1阶导数就是$f^{\prime }\left(x\right)$，2阶导数就是$f^{\prime }\left(x\right)$的导数……

上面的式子不优雅，我们令$a=0$，意思就是说只考虑$x=0$的情况下的取值。（即麦克劳伦公式） $f\left(x\right)=\sum _{n=0}^N\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{x}^n+R_n\left(x\right)$

这篇博客不期望读者能证明泰勒展开的正确性，只需要能用就行。（一贯作风）（逃

$f\left(x\right)=e^x$

这个式子很令人不爽吧？尝试展开它。 求导$f\left(x\right)=e^x$，导得$f^{\prime }\left(x\right)=e^x$。即$f\left(x\right)=e^x$的任意阶导数都是$f\left(x\right)=e^x$。 那么代进公式。 $f\left(x\right)=\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +R_n\left(x\right)$

$R_n\left(x\right)$的意思是$x=0$时$y$的取值。所以根据幂函数的性质，$R_n\left(0\right)=1$。 （其实$R_n\left(x\right)$的作用可以理解为：把函数平移到原点，然后进行麦克劳伦展开。）

因此最后的展开式为：

$f\left(x\right)=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots$

第一象限函数图像和$g\left(x\right)=e^x$一唱一和。 

代码：

double exp(double x)
{
    double ans=1,k=1,l=1;
    int i;

    for(i=1;i<=1000;i++)
    {
        k=k*i;
        l=l*x;
        ans+=l/k;
    }
    //e^x = 1 + x/1 +x^2/2 + x^3/3 +...
    return ans;
}

$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$

难以想象，正弦函数都可以泰勒展开。

类似地对$f\left(x\right)=sin\left(x\right)$进行一系列求导什么的。 得到展开结果： $f\left(x\right)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

它的图像： 

因此，通过泰勒展开可以很精确地获得$x\in [-\pi ,\pi ]$时$\sin \left(x\right)$的值。用诱导公式，所有的$\sin \left(x\right)$都可以给出很精确的值。