定积分与牛顿-莱布尼兹公式
简单定积分 对于简单的定积分，我们可以通过普通的分段求和来搞出来。例如： ∫ 1 0 x 2 d x ∫ 0 1 x 2 d x 这里的定积分的意义是“ f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 、 x = 0 x = 0 、 y = 0 y = 0 、 x = 1 x = 1 围成的图形的面积”。 做法：将 x x 轴 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] 分成 n n 份，每份的宽度是 1 n 1 n 。考虑每一小块，第 i i 小块的 x x 坐标是 i n i n ，那么第 i i 小块的 y y 坐标就是 i 2 n 2 i 2 n 2 。 第 i i 小块的面积是 i 2 n 2 ∗ 1 n = i 2 n 3 i 2 n 2 ∗ 1 n = i 2 n 3 。求和所有小块，即为： ∑ n i = 0 i 2 n 3 = ∑ n i = 0 i 2 n 3 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 n 3 = 1 3 ∗ n + 1 n ∗ 2 n + 1 2 n ∑ i = 0 n i 2 n 3 = ∑ i = 0 n i 2 n 3 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 n 3 = 1 3 ∗ n + 1 n ∗ 2 n + 1 2 n ， lim n → ∞ 1 3 ∗ n + 1 n ∗ 2 n + 1 2 n = 1 3 lim n → ∞ 1 3 ∗ n + 1 n ∗ 2 n + 1 2 n = 1 3 故所求曲边梯形的面积就是 1 3 1 3 。 牛顿-莱布尼茨公式 面对着相当可恶的多项式，上面的搞法就会出问题。 因为 ∑ n i = 1 i 2 ∑ i = 1 n i 2 的计算公式我们知道，但是 ∑ n i = 1 i 233 ∑ i = 1 n i 233 的计算公式真是天知道。 所以前人提出了巧妙的方法——牛顿-莱布尼茨公式。 公式的核心思想是， 积分和求导是互逆运算 。这个东西可以用定义强行推出来，但是也许下面的式子会有一定启发： f ′ ( x ) = Δ y Δ x f ′ ( x ) = Δ y Δ x ，则 Δ...