级数相关
定义 有数列 a n a n ，加号连接这些数，得到级数。 S = ∞ ∑ i = 1 a i S = ∑ i = 1 ∞ a i 如果 S S 拥有极限，则称级数 S S 收敛 。否则称级数 S S 发散 。 条件收敛：如果 S = ∑ a i S = ∑ a i 收敛而 ∑ | a i | ∑ | a i | 发散，则称 S S 条件收敛 。 重要性质 ：对发散级数不能更改求和顺序。（加括号属于更改求和顺序） 黎曼级数定理 一个颠覆常规观念的结论： 如果级数 S S 条件收敛，那么我们可以指定任意实数 M M ，通过调整级数的求和顺序，使得 S = M S = M ；也可以通过调整级数的求和顺序，使得 S = ∞ S = ∞ , S = − ∞ S = − ∞ 或根本没有极限。 调和级数 级数 S = ∞ ∑ i = 1 1 i S = ∑ i = 1 ∞ 1 i 称为“调和级数”。 它的前 n n 项和 S n = ln ( n + 1 ) + r S n = ln ( n + 1 ) + r ,其中 r r 被称为“欧拉常数”。 近年来出现了声称 调和级数收敛 的狗屁论调，我们容易证明调和级数发散： 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 ⋯ > 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ⋯ 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 ⋯ > 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ⋯ 又有右边柿子等于 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 ⋯ 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 ⋯ ，发散。 故调和级数发散。 调和级数与 ln n ln n 同阶，故经常用来证明复杂度。例如下面的代码： for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) for ( j = 1 ; i * j <= n ; j ++ ) //do something excited in O(1) 考虑对于某个 i i ， j j 将会有 n i n i 个取值。 那么总的 j j 的取值为： n ∑ i = 1 n i = n ...