牛顿迭代法
牛顿迭代法用于求函数的零点。 问题 考虑求一个函数的 一个 零点。 如果函数是一次函数 f ( x ) = k x + b f ( x ) = k x + b ，则显然有零点 ( − b k , 0 ) ( − b k , 0 ) 。 如果函数是二次函数呢？好像也不难，用求根公式即可。 现在问题来了： 人类已经证明，五次以上的方程没有求根公式 。如果拿到的方程极为奇怪，又该如何处理？ 牛顿迭代法提出了解决方案。 方法 牛顿迭代法分三步进行： 1. 瞎猜 一个值 p p 2. 求出 x = p x = p 时函数的切线，即求 f ′ ( p ) f ′ ( p ) 3. 令 p p 为 切线的零点 ，返回步骤2。 以 维基百科 的图理解： 上图中蓝线是原函数，红线是 切线 。 上面的三个步骤可以简化为一个递推： x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) 用途 正常向的用途，就是老老实实求零点。 但是还有一些东西可以用牛顿迭代做，例如求 m √ a a m 。 显然很难求，所以令 x = m √ a x = a m ，令 f ( x ) = x m = a f ( x ) = x m = a 。 显然 f ′ ( x ) = m ∗ x m − 1 f ′ ( x ) = m ∗ x m − 1 。然后就可以牛顿迭代出解了。 程序 例：求 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 的一个零点。 求导得： f ′ ( x ) = 2 x + 2 f ′ ( x ) = 2 x + 2 。 故可以： x = x − f ( x ) f 2 ( x ) x = x − f ( x ) f 2 ( x ) 迭代lambda次。这里lambda取100。 #define f(x) (x*x+2*x+1) //原函数 #define f2(x) (x*2+2) //导函数 #define lambda (100) //迭代次数 void Newton ...