差分与有限微积分
阅读这篇文章需要微积分基础。 从《具体数学》上看来的，感觉十分有用。 为了思维的连贯性，省略了大量细节。这些细节将在最后补充。 差分算子 首先，有一个关于“算子”的定义： 如果一个运算作用在函数上，则我们称这个运算为“算子”。 显然，多项式的卷积、狄利克雷卷积等都是算子。 在迈入高等数学的大门时，我们遇到过一个强劲的算子： 微分算子 。 微分算子 D D 是这样定义的： D f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h D f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h .它的几何意义是，对于某个 x x ，以 ( x x 加上无穷小) 处的函数值减去 x x 的函数值。 因此， D f ( x ) D f ( x ) 就是 f ( x ) f ( x ) 的导函数。 由于微分算子使用了 无穷小 ，所以微分算子用于 连续数学 。但是对于别的函数——它们只能在整数范围内取值，微分算子就无法通用。 面对 离散数学 ，定义差分算子 Δ Δ ： Δ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) Δ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) . 它的几何意义如图： 容易看出， 差分算子给出相邻的整数之间函数值的差。 有限微积分 众所周知，微分里有一个很妙的公式： D ( x m ) = m ⋅ x m − 1 D ( x m ) = m ⋅ x m − 1 . 差分有没有类似的公式呢？ 来考虑下降阶乘幂： x m – – = x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋯ ( x − m + 1 ) x m _ = x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋯ ( x − m + 1 ) . 手推一番，我们发现 Δ ( x m – – ) = m ⋅ x m − 1 – –––– – Δ ( x m _ ) = m ⋅ x m − 1 _ . 惊喜的是，差分的运算法则和微分的运算法则如出一辙。例如 D f ( x ) + D g ( x ) = D ( f ( x ) + g ( x ) ) D f ( x ) + D g ( x ) = D ( f ( x )...