泰勒展开
泰勒展开：用 多项式 函数来拟合怪模怪样的函数。 幂函数 考虑简单的幂函数 f ( x ) = x a f ( x ) = x a 。 显然的性质： a a 越大则 f ( x ) f ( x ) 增长越快； 若 a a 是奇数，则函数关于原点对称；若 a a 是偶数，则函数关于 y y 轴对称。 幂函数的单调性很简单。能不能把幂函数弄出几个突起呢？ 可以令 f ( x ) = x 2 + x 9 f ( x ) = x 2 + x 9 ，这样的函数在前期更多地体现 x 2 x 2 的特征，后期更多地体现 x 9 x 9 的特征。 如何调整这些突起呢？我们可以给 x a x a 乘上常数 。有了随意扭曲函数图像的能力，可以很容易地造出一颗心： 泰勒展开 的实质，就是拿 多项式 来逼近光滑函数。 泰勒展开 一个极不优雅的公式： f ( x ) = N ∑ n = 0 f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) f ( x ) = ∑ n = 0 N f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) 这里的 f ( n ) f ( n ) 表示 f ( x ) f ( x ) 的 n n 阶导数。例如1阶导数就是 f ′ ( x ) f ′ ( x ) ，2阶导数就是 f ′ ( x ) f ′ ( x ) 的导数…… 上面的式子不优雅，我们令 a = 0 a = 0 ，意思就是说只考虑 x = 0 x = 0 的情况下的取值。（即麦克劳伦公式） f ( x ) = N ∑ n = 0 f ( n ) ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) f ( x ) = ∑ n = 0 N f ( n ) ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) 这篇博客不期望读者能证明泰勒展开的正确性，只需要 能用 就行。（一贯作风）（逃 f ( x ) = e x f ( x ) = e x 这个式子很令人不爽吧？尝试展开它。 求导 f ( x ) = e x f ( x ) = e x ，导得 f ′ ( x ) = e x f ′ ( x ) = e x 。即 f ( x ) = e x...