求极限的题目集合

由于博主比较菜，所以把自己做错或不会做的极限类题目全堆在了这里 $qwq$ 。

欢迎各位大佬来嘲讽我，谁让我这么菜呢。。。

$Pro.1$ 2015.全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)

求极限

$\lim_{n-> \infty} n \Bigg( \frac{sin\ \frac{\pi}{n}}{n^2+1}+\frac{sin\ 2\frac{\pi}{n}}{n^2+2} + ... + \frac{sin\ \pi}{n^2+n}\Bigg) = ?$

$Solution$

由于$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}sin\ \frac{i\pi}{n} \le \sum_{i=1}^{n}\frac{sin\ \frac{i \pi}{n}}{n + \frac{i}{n}} \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}sin\frac{i\pi}{n},$

$\lim_{n->\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}sin\frac{i\pi}{n}= \lim_{n->\infty}\frac{n}{(n+1)\pi}\ \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^{n} sin\frac{i\pi}{n}$

$=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} sin\ xdx=\frac{2}{\pi},$

$\lim_{n->\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}sin\frac{i\pi}{n}=\lim_{n->\infty}\frac{1}{\pi}\ \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^{n}sin\frac{i\pi}{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} sin\ xdx=\frac{2}{\pi}$

所以由夹逼准则，可得原极限为 $\frac{2}{\pi}$

$Pro.2$ 2015.全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)

设区间 $(0,+\infty)$ 上的函数 $u(x)$ 定义为

$u(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-xt^2}dt,$

则 $u(x)$ 的初等函数表达式为_____。

$Solution$

由于

$u^2(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-xt^2}dt\int_{0}^{+\infty}e^{-xs^2}ds=\iint_{s\ge 0,t\ge 0}e^{-x(t^2+s^2)}ds\ dt$

所以

$u^2(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d \varphi \int_{0}^{+\infty}e^{-x\rho ^2}\rho d\rho = \frac{\pi}{4x}\int_{0}^{+\infty}e^{-x\rho ^2}d_{\rho}(x\rho ^2)$

$= - \frac{\pi}{4x} e^{-x \rho ^2}|_{\rho = 0}^{\rho = +\infty}=\frac{\pi}{4x}$

所以有 $u(x)=\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{x}}$ .

$Pro.3$ 2015.全国大学生数学竞赛初赛(数学类)

设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上有界连续函数， $h(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上连续函数，且 $\int_{0}^{+\infty}|h(t)|dt=a<1$ ，构造函数序列: $g_0(x)=f(x)$ ，

$g_n(x)=f(x)+\int_{0}^{x}h(t)g_{n-1}(t)dt, n=1,2,... \ \ (1)$

求证： $\{ g_n(x) \}$ 收敛于一个连续函数，并求极限函数。

$Solution$

记 $M=sup|f(x)|$ ，因而 $|g_0(x)|\le M$ 。

假设 $|g_{n-1}(x)|\le (1+a+...+a^{n-1})M$ .

由(1)可得

$|g_n(x)|\le |f(x)| +\int_{0}^{x}|h(t)| \ |g_{n-1}(t)|dt$

$\le M + \int_{0}^{+\infty}|h(t)|\ |(1+a+...+a^{n-1})M\ dt|$

$=M + a(1+a+...+a^{n-1})M$

$=(1+a+...+a^{n-1}+a^n)M$

因此 $|g_n(x)|\le \frac{1-a^{n+1}}{1-a}M$ .

由(1)可得

$g_n(x)-g_{n-1}(x)=\int_{0}^{x}h(t) [g_{n-1}(t)-g_{n-2}(t)]dt,$

由此可得，

$sup|g_n(x)-g_{n-1}(x)|\le a\ sup|g_{n-1}(t)-g_{n-2}(t)|,$

从而，

$sup|g_n(x)-g_{n-1}(x)|\le a^{n-1}\ sup|g_1(t)-g_0(t)|\le a^n M$

由于 $a∈[0,1)$ ，从上面的这个式子可以知道函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(g_n(x)-g_{n-1}(x))$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛，即函数列 $\{ g_n(x)\}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。

因为函数列的每一项都连续，因而其极限函数 $g(x)$ 也是连续。

在 $(1)$ 的两边取极限，有

$g(x)=f(x)+\int_{0}^{x}h(t)g(t)dt,\ \ \ (2)$

记 $\varphi (x)=\int_{0}^{x}h(t)g(t)dt,H(x)=\int_{0}^{x}h(t)dt$

则这两个函数可导，且

$\varphi ' (x) = h(x) g(x), H ' (x)=h(x).$

由 $(2)$ 可得，

$\varphi ' (x) - h(x) \varphi (x)= h(x)f(x).$

因而 $[e^{-H(x)}\varphi (x)]'=e^{-H(x)}h(x)f(x).$

两边同时积分，得

$e^{-H(x)}\varphi (x)=\int_{0}^{x}e^{-H(t)}h(t)f(t)dt$

即 $\varphi (x) = e^{H(x)}\int_{0}^{x}e^{-H(t)}h(t)f(t)dt.$ 将其代入(2)就可以得到

$g(x)=f(x)+e^{H(x)}\int_{0}^{x}e^{-H(t)}h(t)f(t)dt.$